領域 $D = \{(x, y); -1 \le x \le 0, -1 \le y \le 0\}$ 上の曲面 $z = f(x, y) = 2x + 2y$ の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y); -1 \le x \le 0, -1 \le y \le 0\}$ 上の曲面 $z = f(x, y) = 2x + 2y$ の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲面の面積を求める公式は以下の通りです。

$$S = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA$$

まず、$f(x, y) = 2x + 2y$ の偏導関数を計算します。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} = 2$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} = 2$$

これらを面積の公式に代入すると、

$$S = \iint_D \sqrt{1 + 2^2 + 2^2} \, dA = \iint_D \sqrt{1 + 4 + 4} \, dA = \iint_D \sqrt{9} \, dA = \iint_D 3 \, dA$$

積分領域 $D$ は $-1 \le x \le 0, -1 \le y \le 0$ なので、

$$S = \int_{-1}^0 \int_{-1}^0 3 \, dy \, dx$$

まず、$y$ に関する積分を行います。

$$S = \int_{-1}^0 \left[ 3y \right]_{-1}^0 \, dx = \int_{-1}^0 (3(0) - 3(-1)) \, dx = \int_{-1}^0 3 \, dx$$

次に、$x$ に関する積分を行います。

$$S = \left[ 3x \right]_{-1}^0 = 3(0) - 3(-1) = 0 - (-3) = 3$$

3. 最終的な答え

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