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(4) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3}$ のとき、次の値を求めよ。 (a) $\sin\theta \cos\theta$ (b) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ (5) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$-2\sin\theta + 1$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (6) $\frac{1}{\sin^2 20^\circ} - \tan^2 110^\circ$ の値を求めよ。

解析学三角関数三角関数の恒等式三角関数の最大最小角度
2025/8/5
はい、承知いたしました。それでは、画像に写っている問題(4)(a), (b), (5), (6)を解いていきます。

1. 問題の内容

(4) sin⁡θ+cos⁡θ=13\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3} のとき、次の値を求めよ。
(a) sin⁡θcos⁡θ\sin\theta \cos\theta
(b) sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin^3\theta + \cos^3\theta
(5) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ とする。−2sin⁡θ+1-2\sin\theta + 1 のとりうる値の範囲を求めよ。
(6) 1sin⁡220∘−tan⁡2110∘\frac{1}{\sin^2 20^\circ} - \tan^2 110^\circ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(4)(a) 与えられた条件 sin⁡θ+cos⁡θ=13\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3} の両辺を2乗します。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=(13)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2
sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=19\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{9}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 であるので、
1+2sin⁡θcos⁡θ=191 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}
2sin⁡θcos⁡θ=19−1=−892\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}
sin⁡θcos⁡θ=−49\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9}
(4)(b) sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin^3\theta + \cos^3\theta を求めます。因数分解の公式 a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) を用いると、
sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)(sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)
=(sin⁡θ+cos⁡θ)(1−sin⁡θcos⁡θ)= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)
sin⁡θ+cos⁡θ=13\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{3} と sin⁡θcos⁡θ=−49\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9} を代入すると、
sin⁡3θ+cos⁡3θ=13(1−(−49))=13(1+49)=13(139)=1327\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{1}{3}\left(1 - \left(-\frac{4}{9}\right)\right) = \frac{1}{3}\left(1 + \frac{4}{9}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{13}{9}\right) = \frac{13}{27}
(5) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、sin⁡θ\sin\theta の範囲は 0≤sin⁡θ≤10 \le \sin\theta \le 1 です。
−2sin⁡θ-2\sin\theta の範囲は −2≤−2sin⁡θ≤0-2 \le -2\sin\theta \le 0 です。
−2sin⁡θ+1-2\sin\theta + 1 の範囲は −2+1≤−2sin⁡θ+1≤0+1-2 + 1 \le -2\sin\theta + 1 \le 0 + 1 となるので、−1≤−2sin⁡θ+1≤1-1 \le -2\sin\theta + 1 \le 1 です。
(6) 1sin⁡220∘−tan⁡2110∘\frac{1}{\sin^2 20^\circ} - \tan^2 110^\circ の値を求めます。
tan⁡110∘=tan⁡(90∘+20∘)=−cot⁡20∘=−cos⁡20∘sin⁡20∘\tan 110^\circ = \tan (90^\circ + 20^\circ) = -\cot 20^\circ = -\frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}
したがって、tan⁡2110∘=cos⁡220∘sin⁡220∘\tan^2 110^\circ = \frac{\cos^2 20^\circ}{\sin^2 20^\circ}
1sin⁡220∘−tan⁡2110∘=1sin⁡220∘−cos⁡220∘sin⁡220∘=1−cos⁡220∘sin⁡220∘=sin⁡220∘sin⁡220∘=1\frac{1}{\sin^2 20^\circ} - \tan^2 110^\circ = \frac{1}{\sin^2 20^\circ} - \frac{\cos^2 20^\circ}{\sin^2 20^\circ} = \frac{1 - \cos^2 20^\circ}{\sin^2 20^\circ} = \frac{\sin^2 20^\circ}{\sin^2 20^\circ} = 1

3. 最終的な答え

(4)(a) sin⁡θcos⁡θ=−49\sin\theta\cos\theta = -\frac{4}{9}
(4)(b) sin⁡3θ+cos⁡3θ=1327\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{13}{27}
(5) −1≤−2sin⁡θ+1≤1-1 \le -2\sin\theta + 1 \le 1
(6) 1sin⁡220∘−tan⁡2110∘=1\frac{1}{\sin^2 20^\circ} - \tan^2 110^\circ = 1

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