(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 (\frac{k \pi}{6n})$ を求めよ。 (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2 + k^2}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 (\frac{k \pi}{6n})$ を求めよ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2 + k^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) この極限は定積分で表すことができます。

$x = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ となります。積分範囲は $k=1$ から $k=n$ なので、$x$ は $0$ から $1$ まで動きます。

したがって、与えられた極限は

$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \cos^2 (\frac{k \pi}{6n}) = \pi \int_0^1 \cos^2(\frac{\pi x}{6}) dx$

となります。

$\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$\int_0^1 \cos^2(\frac{\pi x}{6}) dx = \int_0^1 \frac{1 + \cos(\frac{\pi x}{3})}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (1 + \cos(\frac{\pi x}{3})) dx$

$= \frac{1}{2} [x + \frac{3}{\pi} \sin(\frac{\pi x}{3})]_0^1 = \frac{1}{2} [1 + \frac{3}{\pi} \sin(\frac{\pi}{3})] = \frac{1}{2} [1 + \frac{3}{\pi} \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

したがって、極限は

$\pi (\frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}) = \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2) こちらも定積分で表します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2 + k^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2 \frac{k}{n}}{n (1 + (\frac{k}{n})^2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{2 \frac{k}{n}}{1 + (\frac{k}{n})^2}$

$x = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ で、積分範囲は $0$ から $1$ までとなります。

したがって、$\int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2} dx$ となります。

$u = 1+x^2$ とおくと $du = 2x dx$ であり、$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ となるので、

$\int_1^2 \frac{1}{u} du = [\ln|u|]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2) $\ln 2$