関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられている。 まず、$\nabla f(x, y)$ を求め、次に $\nabla f(1, 2)$ を計算する。 最後に、曲線 $f(x, y) = C$ の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める。ただし、$f(1, 2) = 17$ であることがわかっている。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられている。

まず、$\nabla f(x, y)$ を求め、次に $\nabla f(1, 2)$ を計算する。

最後に、曲線 $f(x, y) = C$ の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める。ただし、$f(1, 2) = 17$ であることがわかっている。

2. 解き方の手順

まず、勾配ベクトル $\nabla f(x, y)$ を求める。これは、関数 $f(x, y)$ の $x$ と $y$ に関する偏微分からなるベクトルである。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -6xy + 4y$

したがって、$\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} 3x^2 - 3y^2 \\ -6xy + 4y \end{pmatrix}$ である。

次に、$\nabla f(1, 2)$ を計算する。

$\nabla f(1, 2) = \begin{pmatrix} 3(1)^2 - 3(2)^2 \\ -6(1)(2) + 4(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 12 \\ -12 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -4 \end{pmatrix}$

点 $(1, 2)$ における曲線 $f(x, y) = 17$ の接線の方程式は、$\nabla f(1, 2) \cdot (x - 1, y - 2) = 0$ で与えられる。

$\begin{pmatrix} -9 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \end{pmatrix} = 0$

$-9(x - 1) - 4(y - 2) = 0$

$-9x + 9 - 4y + 8 = 0$

$-9x - 4y + 17 = 0$

$9x + 4y = 17$

3. 最終的な答え

$\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} 3x^2 - 3y^2 \\ -6xy + 4y \end{pmatrix}$

$\nabla f(1, 2) = \begin{pmatrix} -9 \\ -4 \end{pmatrix}$

点 $(1, 2)$ における接線の方程式は $9x + 4y = 17$