与えられた2つの微分方程式を解く問題です。 (1) $\frac{dy}{dx} = x\sqrt{1+y^2}$ (2) $(1-x^2)\frac{dy}{dx} = 1-y^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式を解く問題です。

(1) $\frac{dy}{dx} = x\sqrt{1+y^2}$

(2) $(1-x^2)\frac{dy}{dx} = 1-y^2$

2. 解き方の手順

(1)

この微分方程式は変数分離形なので、以下のように解きます。

$\frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = x dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{\sqrt{1+y^2}} = \int x dx$

左辺の積分は $\sinh^{-1}(y)$ または $\log(y + \sqrt{1+y^2})$ です。右辺の積分は $\frac{x^2}{2}$ です。したがって、

$\sinh^{-1}(y) = \frac{x^2}{2} + C_1$

または

$\log(y + \sqrt{1+y^2}) = \frac{x^2}{2} + C_1$

$y = \sinh(\frac{x^2}{2} + C_1)$

または

$y + \sqrt{1+y^2} = e^{\frac{x^2}{2} + C_1} = Ce^{\frac{x^2}{2}}$ (ここで $C = e^{C_1}$)

$\sqrt{1+y^2} = Ce^{\frac{x^2}{2}} - y$

$1+y^2 = C^2e^{x^2} - 2yCe^{\frac{x^2}{2}} + y^2$

$1 = C^2e^{x^2} - 2yCe^{\frac{x^2}{2}}$

$2yCe^{\frac{x^2}{2}} = C^2e^{x^2} - 1$

$y = \frac{C^2e^{x^2}-1}{2Ce^{\frac{x^2}{2}}} = \frac{C}{2}e^{\frac{x^2}{2}} - \frac{1}{2C}e^{-\frac{x^2}{2}}$

(2)

この微分方程式も変数分離形なので、以下のように解きます。

$\frac{dy}{1-y^2} = \frac{dx}{1-x^2}$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \frac{dx}{1-x^2}$

部分分数分解をすると、

$\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y})$

$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x})$

したがって、

$\int \frac{1}{2}(\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y}) dy = \int \frac{1}{2}(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}) dx$

$\int (\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y}) dy = \int (\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}) dx$

$-\log|1-y| + \log|1+y| = -\log|1-x| + \log|1+x| + C_1$

$\log|\frac{1+y}{1-y}| = \log|\frac{1+x}{1-x}| + C_1$

$\frac{1+y}{1-y} = C \frac{1+x}{1-x}$ (ここで $C = e^{C_1}$)

$1+y = C \frac{1+x}{1-x} (1-y)$

$1+y = C\frac{1+x}{1-x} - Cy\frac{1+x}{1-x}$

$y(1+ C\frac{1+x}{1-x}) = C\frac{1+x}{1-x} - 1$

$y(\frac{1-x+C+Cx}{1-x}) = \frac{C+Cx-1+x}{1-x}$

$y(1-x+C+Cx) = C+Cx-1+x$

$y = \frac{C+Cx-1+x}{1-x+C+Cx} = \frac{(C-1)+x(C+1)}{(C+1)+x(C-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \sinh(\frac{x^2}{2} + C_1)$ または $y = \frac{C}{2}e^{\frac{x^2}{2}} - \frac{1}{2C}e^{-\frac{x^2}{2}}$

(2) $y = \frac{(C-1)+x(C+1)}{(C+1)+x(C-1)}$