(2) $n$を自然数とするとき、定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx$ の値を求めよ。 (3) $n$個の実数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、$I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \left\{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \dots + a_n \sin nx)\right\}^2 dx$ とおく。$I_n$を最小にするような$a_k$ ($k = 1, 2, \dots, n$)の値を求めよ。

1. 問題の内容

(2) $n$を自然数とするとき、定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx$ の値を求めよ。

(3) $n$個の実数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ に対して、$I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \left\{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \dots + a_n \sin nx)\right\}^2 dx$ とおく。$I_n$を最小にするような$a_k$ ($k = 1, 2, \dots, n$)の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(2)

部分積分を用いて定積分を計算する。

$u = x$, $dv = \sin nx \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos nx$ であるから、

\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx &= \left[ -\frac{x}{n} \cos nx \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} -\frac{1}{n} \cos nx \, dx \\ &= -\frac{\pi}{n} \cos n\pi - \frac{\pi}{n} \cos (-n\pi) + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, dx \\ &= -\frac{2\pi}{n} \cos n\pi + \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin nx \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &= -\frac{2\pi}{n} (-1)^n + \frac{1}{n^2} (\sin n\pi - \sin (-n\pi)) \\ &= -\frac{2\pi}{n} (-1)^n \end{align*}

したがって、$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx = -\frac{2\pi}{n} (-1)^n = \frac{2\pi}{n} (-1)^{n+1}$

(3)

$I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \left\{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \dots + a_n \sin nx)\right\}^2 dx$ を最小にする$a_k$を求める。

$I_n$を$a_k$で偏微分し、0とおくことで極値を求める。

$\frac{\partial I_n}{\partial a_k} = \int_{-\pi}^{\pi} 2 \left\{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \dots + a_n \sin nx)\right\} (-\sin kx) dx = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} \left\{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \dots + a_n \sin nx)\right\} \sin kx dx = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx - \int_{-\pi}^{\pi} (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + \dots + a_n \sin nx) \sin kx dx = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx - \sum_{i=1}^{n} a_i \int_{-\pi}^{\pi} \sin ix \sin kx dx = 0$

ここで、$\int_{-\pi}^{\pi} \sin ix \sin kx dx = \begin{cases} 0 & (i \neq k) \\ \pi & (i = k) \end{cases}$ である。

したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx - a_k \pi = 0$

$a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx$

(2)の結果より、$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx = \frac{2\pi}{k} (-1)^{k+1}$ であるから、

$a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{k} (-1)^{k+1} = \frac{2}{k} (-1)^{k+1}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{2\pi}{n} (-1)^{n+1}$

(3) $a_k = \frac{2}{k} (-1)^{k+1}$ ($k = 1, 2, \dots, n$)