関数 $F(x) = \int_{-x}^{x} \frac{\cos t}{1+e^t} dt$ について、(1) 導関数 $F'(x)$ を求めよ。(2) $F(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \int_{-x}^{x} \frac{\cos t}{1+e^t} dt$ について、(1) 導関数 $F'(x)$ を求めよ。(2) $F(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $F'(x)$ を求める。

まず、$F(x)$ を積分区間に関する和に分解する。

$F(x) = \int_{-x}^{0} \frac{\cos t}{1+e^t} dt + \int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+e^t} dt$

次に、最初の積分に対して $t = -u$ と変数変換すると、$dt = -du$。積分区間は $-x \rightarrow 0$ から $x \rightarrow 0$ に変わる。

$\int_{-x}^{0} \frac{\cos t}{1+e^t} dt = \int_{x}^{0} \frac{\cos(-u)}{1+e^{-u}} (-du) = \int_{0}^{x} \frac{\cos u}{1+e^{-u}} du = \int_{0}^{x} \frac{e^u \cos u}{e^u + 1} du$

したがって、

$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{e^t \cos t}{1+e^t} dt + \int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+e^t} dt = \int_{0}^{x} \frac{(e^t+1) \cos t}{1+e^t} dt = \int_{0}^{x} \cos t dt$

$F(x) = \int_{0}^{x} \cos t dt$

$F'(x) = \cos x$

(2) $F(x)$ を求める。

$F(x) = \int_{0}^{x} \cos t dt = [\sin t]_{0}^{x} = \sin x - \sin 0 = \sin x$

3. 最終的な答え

(1) $F'(x) = \cos x$

(2) $F(x) = \sin x$