関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。 (1) $\nabla f(x, y)$ を求める。 (2) $\nabla f(1, 2)$ を求める。 (3) 曲線 $f(x, y) = C$ の点$(1, 2)$における接線の方程式を求める。ただし、$f(1, 2) = C$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。

(1) $\nabla f(x, y)$ を求める。

(2) $\nabla f(1, 2)$ を求める。

(3) 曲線 $f(x, y) = C$ の点$(1, 2)$における接線の方程式を求める。ただし、$f(1, 2) = C$ とします。

2. 解き方の手順

(1) 勾配ベクトル $\nabla f(x, y)$ を求める。

$\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -6xy + 4y$

したがって、

$\nabla f(x, y) = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 4y)$

(2) $\nabla f(1, 2)$ を求める。

$\nabla f(1, 2) = (3(1)^2 - 3(2)^2, -6(1)(2) + 4(2)) = (3 - 12, -12 + 8) = (-9, -4)$

(3) 曲線 $f(x, y) = C$ の点$(1, 2)$における接線の方程式を求める。

まず、$C = f(1, 2)$ を計算する。

$C = (1)^3 - 3(1)(2)^2 + 2(2)^2 = 1 - 12 + 8 = -3$

したがって、$f(x, y) = -3$

接線の方程式は、$\nabla f(1, 2) \cdot (x - 1, y - 2) = 0$ で与えられる。

$(-9, -4) \cdot (x - 1, y - 2) = 0$

$-9(x - 1) - 4(y - 2) = 0$

$-9x + 9 - 4y + 8 = 0$

$-9x - 4y + 17 = 0$

$9x + 4y = 17$

3. 最終的な答え

$\nabla f(x, y) = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 4y)$

$\nabla f(1, 2) = (-9, -4)$

接線の方程式は $9x + 4y = 17$