与えられた3つの極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{(1 + 2 + 3 + \cdots + n)^5}{(1 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4)^2}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \left\{ \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+1)}{4n}} + \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+2)}{4n}} + \cdots + \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+n)}{4n}} \right\}$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を計算する問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{(1 + 2 + 3 + \cdots + n)^5}{(1 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4)^2}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \left\{ \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+1)}{4n}} + \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+2)}{4n}} + \cdots + \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+n)}{4n}} \right\}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{(1 + 2 + 3 + \cdots + n)^5}{(1 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4)^2}$ について:

まず、和の公式を使います。

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 \sim \frac{n^5}{5}$ （最高次の項のみに着目）

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(1 + 2 + 3 + \cdots + n)^5}{(1 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^5}{(\frac{n^5}{5})^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{n^2}{2})^5}{(\frac{n^{10}}{25})} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{10}}{32}}{\frac{n^{10}}{25}} = \frac{25}{32}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$ について:

スターリングの近似式 $\log n! \sim n \log n - n$ を用います。

$\log \frac{(4n)!}{(3n)!} = \log(4n)! - \log(3n)! \sim 4n\log(4n)-4n - (3n\log(3n)-3n) = 4n\log 4 + 4n\log n - 4n - 3n\log 3 - 3n\log n + 3n = n\log(\frac{4^4}{3^3}) + n\log n - n = n\log(\frac{4^4}{3^3}n) - n$

$\log \left(\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}\right) = \frac{1}{n}\log \frac{(4n)!}{(3n)!} - \log n = \log(\frac{4^4}{3^3}n) - 1 - \log n = \log(\frac{256}{27}) - 1 = \log(\frac{256}{27e})$

Therefore, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}} = \frac{256}{27e}$.

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \left\{ \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+1)}{4n}} + \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+2)}{4n}} + \cdots + \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+n)}{4n}} \right\}$ について:

これはリーマン和の形をしています。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin \frac{\pi (n+k)}{4n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sin (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{4n})} = \pi \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sin (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi x}{4})}$

$u = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi x}{4}$とおくと、$du = \frac{\pi}{4} dx$, $dx = \frac{4}{\pi}du$

$x=0$のとき、$u = \frac{\pi}{4}$

$x=1$のとき、$u = \frac{\pi}{2}$

よって、

$\pi \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sin (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi x}{4})} = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{4}{\pi} du}{\sin u} = 4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{du}{\sin u} = 4 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc u \ du = 4 [-\log |\csc u + \cot u|]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = 4 [-\log |1 + 0| - (-\log |\sqrt{2} + 1|)] = 4 \log(\sqrt{2} + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{25}{32}$

(2) $\frac{256}{27e}$

(3) $4 \log(\sqrt{2} + 1)$