長さ2の線分ABを直径とする半円周をn等分した点を $P_0 = A, P_1, ..., P_{n-1}, P_n = B$ とする。 (1) 三角形 $AP_kB$ の3辺の長さの和 $AP_k + P_kB + BA$ を $l_n(k)$ とおくとき、$l_n(k)$ を求めよ。 (2) 極限値 $\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) + l_n(2) + ... + l_n(n)}{n}$ を求めよ。ただし、$l_n(n) = 4$ とする。

1. 問題の内容

長さ2の線分ABを直径とする半円周をn等分した点を $P_0 = A, P_1, ..., P_{n-1}, P_n = B$ とする。

(1) 三角形 $AP_kB$ の3辺の長さの和 $AP_k + P_kB + BA$ を $l_n(k)$ とおくとき、$l_n(k)$ を求めよ。

(2) 極限値 $\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) + l_n(2) + ... + l_n(n)}{n}$ を求めよ。ただし、$l_n(n) = 4$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $l_n(k)$ を求める。

ABは直径なので、$AP_kB$ は直角三角形である。

$AP_k = 2\cos\theta_k$

$P_kB = 2\sin\theta_k$

ここで $\theta_k = \frac{k\pi}{2n}$

よって、

$l_n(k) = AP_k + P_kB + BA = 2\cos\theta_k + 2\sin\theta_k + 2 = 2\cos(\frac{k\pi}{2n}) + 2\sin(\frac{k\pi}{2n}) + 2$

(2) 極限値を求める。

$\alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) + l_n(2) + ... + l_n(n)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} l_n(k)}{n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} (2\cos(\frac{k\pi}{2n}) + 2\sin(\frac{k\pi}{2n}) + 2)}{n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{2\sum_{k=1}^{n} \cos(\frac{k\pi}{2n}) + 2\sum_{k=1}^{n} \sin(\frac{k\pi}{2n}) + 2n}{n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{2\sum_{k=1}^{n} \cos(\frac{k\pi}{2n})}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{2\sum_{k=1}^{n} \sin(\frac{k\pi}{2n})}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n}$

$= 2\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \cos(\frac{k\pi}{2n})}{n} + 2\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sin(\frac{k\pi}{2n})}{n} + 2$

ここで、リーマン和を用いる。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \cos(\frac{k\pi}{2n})}{n} = \int_{0}^{1} \cos(\frac{\pi}{2}x) dx = [\frac{2}{\pi}\sin(\frac{\pi}{2}x)]_0^1 = \frac{2}{\pi}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sin(\frac{k\pi}{2n})}{n} = \int_{0}^{1} \sin(\frac{\pi}{2}x) dx = [-\frac{2}{\pi}\cos(\frac{\pi}{2}x)]_0^1 = \frac{2}{\pi}$

$\alpha = 2 \cdot \frac{2}{\pi} + 2 \cdot \frac{2}{\pi} + 2 = \frac{8}{\pi} + 2$

3. 最終的な答え

(1) $l_n(k) = 2\cos(\frac{k\pi}{2n}) + 2\sin(\frac{k\pi}{2n}) + 2$

(2) $\alpha = \frac{8}{\pi} + 2$