関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ の極大点の座標と極小点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 e^{-x}$ の極大点の座標と極小点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を使うと、

$f'(x) = (x^2)'e^{-x} + x^2(e^{-x})' = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$

(2) 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x}$ は常に正なので、$x(2-x)=0$ を解けばよく、$x = 0$ または $x = 2$ となります。

(3) $f'(x)$ の符号の変化を調べます。

- $x < 0$ のとき、$x < 0$, $2-x > 0$, $e^{-x} > 0$ なので、$f'(x) < 0$ です。

- $0 < x < 2$ のとき、$x > 0$, $2-x > 0$, $e^{-x} > 0$ なので、$f'(x) > 0$ です。

- $x > 2$ のとき、$x > 0$, $2-x < 0$, $e^{-x} > 0$ なので、$f'(x) < 0$ です。

(4) $f'(x)$ の符号の変化から、$x = 0$ で極小、$x = 2$ で極大となることが分かります。

(5) 極小値 $f(0)$ と極大値 $f(2)$ を計算します。

- $f(0) = 0^2 e^{-0} = 0$

- $f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2}$

したがって、極小点の座標は $(0, 0)$、極大点の座標は $(2, 4e^{-2})$ です。

3. 最終的な答え

極大点の座標は $(2, 4e^{-2})$、極小点の座標は $(0, 0)$ です。