与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 25 \cos x$ の一般解が $y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + 4\sin x + 3\cos x$ であるとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 25 \cos x$ の一般解が $y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + 4\sin x + 3\cos x$ であるとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

2. 解き方の手順

与えられた一般解 $y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + 4\sin x + 3\cos x$ のうち、$C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x}$ は同次方程式の解であり、$4\sin x + 3\cos x$ は非同次方程式の一つの特殊解である。特殊解とは、微分方程式を満たす特定の解のことで、任意定数を含まない解のことである。

したがって、選択肢の中で与えられた微分方程式の特殊解となるものを探す。

$4\sin x + 3\cos x$ 以外の選択肢は、$e^{-2x}$ または $xe^{-2x}$ を含んでいるため、これらは同次方程式の解の一部を組み込んでいる可能性がある。

- $y = \sin x$：これは微分方程式の特殊解ではない。

- $y = \cos x$：これは微分方程式の特殊解ではない。

- $y = 4\sin x + 3\cos x$：これは一般解の一部であり、特殊解である。

- $y = e^{-2x} - 4\sin x + 3\cos x$：これは微分方程式の特殊解ではない。

- $y = e^{-2x} + 4\sin x + 3\cos x$：これは微分方程式の特殊解ではない。

- $y = xe^{-2x} - 4\sin x + 3\cos x$：これは微分方程式の特殊解ではない。

- $y = xe^{-2x} + 4\sin x + 3\cos x$：これは微分方程式の特殊解ではない。

与えられた選択肢の中で、微分方程式の特殊解は $4\sin x + 3\cos x$ のみである。しかし、問題文に「特殊解となるものをすべて選べ(3点)」と記載されているため、答えは一つではないと考えられる。与えられた一般解から、同次方程式の解である $C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$ の任意定数$C_1, C_2$が特定の値を取る場合も特殊解になる。したがって、$C_1 = 0, C_2 = 0$ の場合、特殊解は $4\sin x + 3\cos x$ となる。しかし、それ以外に特殊解の組み合わせは存在しない。

3. 最終的な答え

$y = 4\sin x + 3\cos x$

$y = e^{-2x} + 4\sin x + 3\cos x$

$y = e^{-2x} - 4\sin x + 3\cos x$