関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) 勾配ベクトル $\nabla f(x, y)$ を求めよ。 (2) 点 (1, 2) における勾配ベクトル $\nabla f(1, 2)$ を求めよ。 (3) 曲線 $f(x, y) = C$ の点 (1, 2) における接線の方程式を求めよ。ただし、$C = 17$ である。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) 勾配ベクトル $\nabla f(x, y)$ を求めよ。

(2) 点 (1, 2) における勾配ベクトル $\nabla f(1, 2)$ を求めよ。

(3) 曲線 $f(x, y) = C$ の点 (1, 2) における接線の方程式を求めよ。ただし、$C = 17$ である。

2. 解き方の手順

(1) 勾配ベクトル $\nabla f(x, y)$ を求める。

勾配ベクトルは、各変数に関する偏導関数を成分とするベクトルである。

$f(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y^2$ より、

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = -6xy + 4y$

したがって、

$\nabla f(x, y) = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 4y)$

(2) 点 (1, 2) における勾配ベクトル $\nabla f(1, 2)$ を求める。

$\nabla f(x, y) = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 4y)$ に $x = 1$, $y = 2$ を代入すると、

$\nabla f(1, 2) = (3(1)^2 - 3(2)^2, -6(1)(2) + 4(2)) = (3 - 12, -12 + 8) = (-9, -4)$

(3) 曲線 $f(x, y) = C$ の点 (1, 2) における接線の方程式を求める。ただし、$C = 17$ である。

点 (1, 2) における接線の方程式は、

$\nabla f(1, 2) \cdot (x - 1, y - 2) = 0$

で与えられる。

$\nabla f(1, 2) = (-9, -4)$ より、

$(-9, -4) \cdot (x - 1, y - 2) = 0$

$-9(x - 1) - 4(y - 2) = 0$

$-9x + 9 - 4y + 8 = 0$

$-9x - 4y + 17 = 0$

$9x + 4y = 17$

3. 最終的な答え

$\nabla f(x, y) = (3x^2 - 3y^2, -6xy + 4y)$

$\nabla f(1, 2) = (-9, -4)$

$9x + 4y = 17$