関数 $f(x) = x^2e^{-x}$ の極大点の座標と極小点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2e^{-x}$ の極大点の座標と極小点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。積の微分法を使います。

$f'(x) = (x^2)'e^{-x} + x^2(e^{-x})' = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2) = e^{-x}x(2-x)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x}x(2-x) = 0$

$e^{-x}$ は常に正なので、$x(2-x) = 0$

よって、$x=0$ または $x=2$

(3) $x$ の値の前後の $f'(x)$ の符号を調べ、$f(x)$ の増減を調べます。

- $x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

- $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x > 2$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x=0$ で極小、$x=2$ で極大になります。

(4) 極小値 $f(0)$ と極大値 $f(2)$ を求めます。

$f(0) = 0^2e^{-0} = 0$

$f(2) = 2^2e^{-2} = 4e^{-2}$

(5) 極大点の座標は $(2, 4e^{-2})$ 、極小点の座標は $(0, 0)$ です。

3. 最終的な答え

極大点の座標は $(2, 4e^{-2})$ であり、極小点の座標は $(0, 0)$ である。