曲線 $y = x^3 - 2x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 2x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3 - 2x^2$ と $x$軸の交点を求めます。

$y = x^3 - 2x^2 = x^2(x-2) = 0$ となるので、$x = 0, 2$ が交点の $x$ 座標です。

$0 \le x \le 2$ の範囲で、$x^3 - 2x^2$ は負の値をとります。

したがって、求める面積は

$$S = \left| \int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx \right|$$

となります。積分を計算します。

$$\int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{2 \cdot 2^3}{3} = \frac{16}{4} - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12 - 16}{3} = -\frac{4}{3}$$

したがって、面積は

$$S = \left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$