不定積分 $\int (-6x + 7) dx$ を計算しなさい。ただし、積分定数は $C$ とします。

## Q1

1. 問題の内容

不定積分 $\int (-6x + 7) dx$ を計算しなさい。ただし、積分定数は $C$ とします。

2. 解き方の手順

まず、積分を分配します。

$\int (-6x + 7) dx = \int -6x dx + \int 7 dx$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int -6x dx = -6 \int x dx = -6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = -3x^2 + C_1$

$\int 7 dx = 7x + C_2$

したがって、

$\int (-6x + 7) dx = -3x^2 + 7x + C$ ($C = C_1 + C_2$)

3. 最終的な答え

$-3x^2 + 7x + C$

## Q2

1. 問題の内容

不定積分 $\int (2x - 1)(3x + 1) dx$ を計算しなさい。ただし、積分定数は $C$ とします。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(2x - 1)(3x + 1) = 6x^2 + 2x - 3x - 1 = 6x^2 - x - 1$

次に、積分を実行します。

$\int (6x^2 - x - 1) dx = \int 6x^2 dx - \int x dx - \int 1 dx$

それぞれの項を積分します。

$\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = 2x^3 + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

$\int 1 dx = x + C_3$

したがって、

$\int (6x^2 - x - 1) dx = 2x^3 - \frac{x^2}{2} - x + C$ ($C = C_1 - C_2 - C_3$)

3. 最終的な答え

$2x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x + C$