平面 $x + y + z = 4$ の、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ の範囲にある部分の曲面積を求める問題です。

1. 問題の内容

平面 $x + y + z = 4$ の、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ の範囲にある部分の曲面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面 $x + y + z = 4$ を $z = f(x, y) = 4 - x - y$ と表します。

曲面積を求める公式は次のようになります。

$$S = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy$$

ここで、$D$ は平面 $z = 0$ 上の領域を表します。

まず、$z$ の偏微分を計算します。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4 - x - y) = -1$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4 - x - y) = -1$$

次に、平方根の中身を計算します。

$$1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = 1 + (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$$

したがって、曲面積を求める積分は次のようになります。

$$S = \iint_D \sqrt{3} \, dx \, dy = \sqrt{3} \iint_D dx \, dy$$

領域 $D$ は、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ の条件から、$x + y \le 4$ で表されます。これは、$xy$ 平面上の第一象限にある三角形の領域で、頂点が $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,4)$ です。

この領域 $D$ の面積は、

$$\iint_D dx \, dy = \int_0^4 \int_0^{4-x} dy \, dx = \int_0^4 (4-x) \, dx = \left[4x - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 16 - \frac{16}{2} = 16 - 8 = 8$$

したがって、曲面積は、

$$S = \sqrt{3} \cdot 8 = 8\sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3}$