定積分 $\int_{1}^{4} x\sqrt{x} dx$ を計算する問題です。

## Q2の解答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} x\sqrt{x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x\sqrt{x}$ を $x$ の指数で表します。

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$

定積分を計算するために、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を求めます。

$\int_{1}^{4} x\sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{5}(4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5}(1^{\frac{5}{2}})$

$4^{\frac{5}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^5 = 2^5 = 32$

$1^{\frac{5}{2}} = 1$

したがって、

$\int_{1}^{4} x\sqrt{x} dx = \frac{2}{5}(32) - \frac{2}{5}(1) = \frac{64}{5} - \frac{2}{5} = \frac{62}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{62}{5}$