曲線 $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ (ただし $0 \le x \le 3$) の長さを求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ (ただし $0 \le x \le 3$) の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、以下の式で計算できます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、与えられた関数 $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ を $x$ で微分します。

$y = \frac{2}{3}x^{3/2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{x}$

次に、$(\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$(\frac{dy}{dx})^2 = (\sqrt{x})^2 = x$

したがって、

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + x$

曲線の長さの公式に代入し、積分範囲は $0 \le x \le 3$ なので、

$L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + x} dx$

$u = 1 + x$ と置換すると、$du = dx$ であり、$x = 0$ のとき $u = 1$、$x = 3$ のとき $u = 4$ となります。

したがって、

$L = \int_{1}^{4} \sqrt{u} du = \int_{1}^{4} u^{1/2} du$

$L = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$