定積分 $\int_{0}^{3} (4x - 3) dx$ を計算します。

## Q1

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} (4x - 3) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (4x - 3) dx = 2x^2 - 3x + C$

次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端での値を計算し、その差を求めます。

$\int_{0}^{3} (4x - 3) dx = [2x^2 - 3x]_{0}^{3} = (2(3)^2 - 3(3)) - (2(0)^2 - 3(0))$

$= (2(9) - 9) - (0) = (18 - 9) = 9$

3. 最終的な答え

9

## Q2

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} x\sqrt{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x\sqrt{x}$ を $x$ の指数を使って表します。

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$

次に、被積分関数を積分します。

$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C$

次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端での値を計算し、その差を求めます。

$\int_{1}^{4} x\sqrt{x} dx = [\frac{2}{5} x^{5/2}]_{1}^{4} = \frac{2}{5} (4^{5/2}) - \frac{2}{5} (1^{5/2})$

$4^{5/2} = (4^{1/2})^5 = (2)^5 = 32$

$1^{5/2} = 1$

$= \frac{2}{5}(32) - \frac{2}{5}(1) = \frac{64}{5} - \frac{2}{5} = \frac{62}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{62}{5}$