微分方程式 $y' = -4xy^2$ の解のうち、初期条件「$x=0$のとき$y=-1$」を満たす関数 $y$ を選択肢の中から求めます。

1. 問題の内容

微分方程式 $y' = -4xy^2$ の解のうち、初期条件「$x=0$のとき$y=-1$」を満たす関数 $y$ を選択肢の中から求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を解きます。これは変数分離形の微分方程式なので、以下のように解くことができます。

$\frac{dy}{dx} = -4xy^2$

両辺を $y^2$ で割り、$dx$ を掛けると、

$\frac{dy}{y^2} = -4x dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y^2} = \int -4x dx$

$-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ （$C$は積分定数）

$\frac{1}{y} = 2x^2 - C$

$y = \frac{1}{2x^2 - C}$

次に、初期条件 $x=0$ のとき $y=-1$ を代入して、積分定数 $C$ を求めます。

$-1 = \frac{1}{2(0)^2 - C}$

$-1 = \frac{1}{-C}$

$C = 1$

したがって、微分方程式の解は

$y = \frac{1}{2x^2 - 1}$

3. 最終的な答え

与えられた選択肢の中で、$y = \frac{1}{2x^2 - 1}$ に一致するのは2番です。

答え: 2