不等式 $0 \le z \le x^2 + y^2$, $x^2 + y^2 \le 4$ で表される空間の図形の体積を、極座標による2重積分を用いて求める問題です。xy平面の積分領域を図示する必要があります。

1. 問題の内容

不等式 $0 \le z \le x^2 + y^2$, $x^2 + y^2 \le 4$ で表される空間の図形の体積を、極座標による2重積分を用いて求める問題です。xy平面の積分領域を図示する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を極座標で表します。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ となります。

したがって、不等式は以下のようになります。

$0 \le z \le r^2$, $r^2 \le 4$

$r^2 \le 4$ より、$0 \le r \le 2$ となります。

また、$\theta$ は $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲を動きます。

体積Vは、2重積分で以下のように表されます。

$V = \iint_D (r^2 - 0) \, dxdy$

ここで、$D$ はxy平面の積分領域です。

極座標で書き換えると、

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2 \cdot r \, dr d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 \, dr d\theta$

まず、rに関する積分を計算します。

$\int_{0}^{2} r^3 \, dr = \left[ \frac{1}{4}r^4 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4}(2^4 - 0^4) = \frac{1}{4}(16) = 4$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$\int_{0}^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \int_{0}^{2\pi} d\theta = 4 [\theta]_{0}^{2\pi} = 4(2\pi - 0) = 8\pi$

したがって、体積Vは $8\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$8\pi$