以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + \sqrt{x^2 + x})$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + \sqrt{x^2 + x})$

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ のとき、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ に注意します。

まず、$\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2+x}$ に $\frac{\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2+x}}$ を掛けます。

$\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2+x} = \frac{(\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2+x})(\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2+x})}{\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2+x}} = \frac{(x^2+4x) - (x^2+x)}{\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2+x}} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2+x}}$

ここで、分母分子を $x$ で割ります。$x \to -\infty$ であるから、$x < 0$ なので、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$に注意すると、

$\sqrt{x^2+4x} = \sqrt{x^2(1+4/x)} = |x|\sqrt{1+4/x} = -x\sqrt{1+4/x}$

$\sqrt{x^2+x} = \sqrt{x^2(1+1/x)} = |x|\sqrt{1+1/x} = -x\sqrt{1+1/x}$

となるので、

$\frac{3x}{\sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2+x}} = \frac{3x}{-x\sqrt{1+4/x} - (-x\sqrt{1+1/x})} = \frac{3x}{-x(\sqrt{1+4/x} - \sqrt{1+1/x})} = \frac{3}{-\sqrt{1+4/x} + \sqrt{1+1/x}}$

$x \to -\infty$ のとき、$4/x \to 0$ および $1/x \to 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{-\sqrt{1+4/x} + \sqrt{1+1/x}} = \frac{3}{-\sqrt{1+0} + \sqrt{1+0}} = \frac{3}{-1 + 1} = \frac{3}{0}$

したがって、式変形では不定形を解消できなかった。しかし、$\sqrt{x^2+4x}$ と $\sqrt{x^2+x}$ の主要項は $x$ であることから、これらを展開して主要項である $x$ を打ち消すことを試みる。

$\sqrt{x^2+4x} = |x|\sqrt{1+\frac{4}{x}} = -x\sqrt{1+\frac{4}{x}} = -x\left(1 + \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{x} + o(\frac{1}{x})\right) = -x - 2 + o(1)$

$\sqrt{x^2+x} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x}} = -x\sqrt{1+\frac{1}{x}} = -x\left(1 + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x} + o(\frac{1}{x})\right) = -x - \frac{1}{2} + o(1)$

したがって、

$\sqrt{x^2+4x} + \sqrt{x^2+x} = -2 - \frac{1}{2} + o(1) = -\frac{5}{2} + o(1)$

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+4x}+\sqrt{x^2+x}) = -\frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

-5/2