$n$個の実数$a_1, a_2, ..., a_n$に対して、 $I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + ... + a_n \sin nx)\}^2 dx$ とおく。$I_n$を最小にするような$a_k (k = 1, 2, ..., n)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$n$個の実数$a_1, a_2, ..., a_n$に対して、

$I_n = \int_{-\pi}^{\pi} \{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + ... + a_n \sin nx)\}^2 dx$

とおく。$I_n$を最小にするような$a_k (k = 1, 2, ..., n)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$I_n$を展開して計算します。

\begin{align*}

I_n &= \int_{-\pi}^{\pi} \{x - (a_1 \sin x + a_2 \sin 2x + ... + a_n \sin nx)\}^2 dx \\

&= \int_{-\pi}^{\pi} \left[ x^2 - 2x\sum_{k=1}^n a_k \sin kx + \left(\sum_{k=1}^n a_k \sin kx\right)^2 \right] dx \\

&= \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx - 2\sum_{k=1}^n a_k \int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx + \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k=1}^n a_k \sin kx\right)^2 dx

\end{align*}

ここで、$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx$を計算します。部分積分により、

\begin{align*}

\int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx &= \left[ x\left(-\frac{\cos kx}{k}\right) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} \left(-\frac{\cos kx}{k}\right) dx \\

&= -\frac{\pi}{k} \cos k\pi - \frac{\pi}{k} \cos(-k\pi) + \frac{1}{k} \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx dx \\

&= -\frac{2\pi}{k} \cos k\pi + \frac{1}{k} \left[ \frac{\sin kx}{k} \right]_{-\pi}^{\pi} \\

&= -\frac{2\pi}{k} (-1)^k

\end{align*}

また、$\int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k=1}^n a_k \sin kx\right)^2 dx$を計算します。

\begin{align*}

\int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k=1}^n a_k \sin kx\right)^2 dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n a_k a_j \sin kx \sin jx dx \\

&= \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n a_k a_j \int_{-\pi}^{\pi} \sin kx \sin jx dx

\end{align*}

$\sin kx \sin jx$の積分の直交性より、$k \neq j$のとき$\int_{-\pi}^{\pi} \sin kx \sin jx dx = 0$、$k = j$のとき$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 kx dx = \pi$なので、

$\int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k=1}^n a_k \sin kx\right)^2 dx = \sum_{k=1}^n a_k^2 \pi$

したがって、

\begin{align*}

I_n &= \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx - 2\sum_{k=1}^n a_k \int_{-\pi}^{\pi} x \sin kx dx + \int_{-\pi}^{\pi} \left(\sum_{k=1}^n a_k \sin kx\right)^2 dx \\

&= \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx - 2\sum_{k=1}^n a_k \left( -\frac{2\pi}{k} (-1)^k \right) + \sum_{k=1}^n a_k^2 \pi \\

&= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\pi}^{\pi} + \sum_{k=1}^n \frac{4\pi}{k} (-1)^k a_k + \sum_{k=1}^n a_k^2 \pi \\

&= \frac{2\pi^3}{3} + \sum_{k=1}^n \left( \pi a_k^2 + \frac{4\pi}{k} (-1)^k a_k \right) \\

&= \frac{2\pi^3}{3} + \sum_{k=1}^n \pi \left( a_k^2 + \frac{4}{k\pi} (-1)^k a_k \right) \\

&= \frac{2\pi^3}{3} + \sum_{k=1}^n \pi \left( \left(a_k + \frac{2}{k\pi} (-1)^k \right)^2 - \left( \frac{2}{k\pi} \right)^2 \right) \\

&= \frac{2\pi^3}{3} - \sum_{k=1}^n \pi \left(\frac{4}{k^2\pi^2}\right) + \sum_{k=1}^n \pi \left(a_k + \frac{2}{k\pi} (-1)^k \right)^2 \\

&= \frac{2\pi^3}{3} - \sum_{k=1}^n \frac{4}{k^2\pi} + \sum_{k=1}^n \pi \left(a_k + \frac{2}{k\pi} (-1)^k \right)^2

\end{align*}

$I_n$を最小にするためには、$a_k + \frac{2}{k\pi} (-1)^k = 0$となるように$a_k$を選べばよい。

$a_k = -\frac{2}{k\pi} (-1)^k = \frac{2}{k\pi} (-1)^{k+1}$

3. 最終的な答え

$a_k = \frac{2}{k\pi} (-1)^{k+1}$ (k = 1, 2, ..., n)