自然数 $n$ に対して、$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ とおく。 問1: 定積分 $I_1$, $I_2$, $I_3$ を求めよ。 問2: 不等式 $I_n \ge I_{n+1}$ を証明するため、空欄ア、イに当てはまるものを選択肢から選べ。 問3: 空欄イに当てはまるものを選択肢から選べ。 問4: 漸化式 $I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$ を証明する過程の空欄ウ、エに当てはまるものを選択肢から選べ。 問5: 極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ とおく。

問1: 定積分 $I_1$, $I_2$, $I_3$ を求めよ。

問2: 不等式 $I_n \ge I_{n+1}$ を証明するため、空欄ア、イに当てはまるものを選択肢から選べ。

問3: 空欄イに当てはまるものを選択肢から選べ。

問4: 漸化式 $I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$ を証明する過程の空欄ウ、エに当てはまるものを選択肢から選べ。

問5: 極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問1:

$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$

$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x - \frac{1}{2}\sin 2x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{4}$

$I_3 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \sin x \cos^2 x) \, dx = [-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3}]_0^{\frac{\pi}{2}} = (0+0) - (-1+\frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

問2:

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において $0 \le \sin x \le 1$ であるから、$\sin^{n+1} x \le \sin^n x$ が成り立つ。

したがって、積分区間が同じであるため $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \, dx \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$

よって、$I_{n+1} \le I_n$。したがって、$I_n \ge I_{n+1}$

アは $0 \le \sin^{n+1} x \le \sin^n x$、イは $I_{n+1} \le I_n$。

問3:

$I_n \ge I_{n+1}$ より $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx \ge \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \, dx$

よって、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \, dx \le \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$が成り立つ。

問4:

$I_{n+2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \sin x \, dx$

部分積分を用いて

$I_{n+2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x (-\cos x)' \, dx$

$I_{n+2} = [-\sin^{n+1} x \cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (n+1) \sin^n x \cos x (-\cos x) \, dx$

$I_{n+2} = 0 + (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \cos^2 x \, dx$

$I_{n+2} = (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x (1 - \sin^2 x) \, dx$

$I_{n+2} = (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx - (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+2} x \, dx$

$I_{n+2} = (n+1) I_n - (n+1) I_{n+2}$

$I_{n+2} + (n+1) I_{n+2} = (n+2) I_{n+2} = (n+1) I_n$

$I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$

よって、ウは $n+1$, エは $n+1$

問5:

$\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}$

Wallisの公式より

$\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2\cdot 4 \cdot \dots \cdot (2n)}{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n-1) (2n+1)}}{\frac{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n-1) }{2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot (2n-2) \cdot (2n)}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2\cdot 4 \cdot \dots \cdot (2n)}{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n-1) (2n+1)}}{\frac{2}{π} \frac{1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot (2n-2)(2n)}}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1$ であることが知られている。従って、求める極限値は

1. 実際、$\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} = 0$ である。

3. 最終的な答え

問1: $I_1 = 1$, $I_2 = \frac{\pi}{4}$, $I_3 = \frac{2}{3}$

問2: ア: (d), イ: (d)

問3: (c)

問4: (a)

問5: (a)