2つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。 * 問題4: $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$ * 問題5: $\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$

## 微分方程式の解

1. **問題の内容**

2つの2階線形同次微分方程式の一般解を求める問題です。

* 問題4: $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$

* 問題5: $\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$

2. **解き方の手順**

**問題4:**

1. 特性方程式を立てます。

与えられた微分方程式に対応する特性方程式は、$r^2 - 5r + 6 = 0$となります。

2. 特性方程式を解きます。

この特性方程式は因数分解でき、$(r - 2)(r - 3) = 0$ となります。

したがって、2つの異なる実数解 $r_1 = 2$ と $r_2 = 3$ を得ます。

3. 一般解を構成します。

2つの異なる実数解を持つ場合、一般解は $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$ の形式で表されます。

したがって、$y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$ が一般解です。

**問題5:**

1. 特性方程式を立てます。

与えられた微分方程式に対応する特性方程式は、$r^2 - 4r + 4 = 0$となります。

2. 特性方程式を解きます。

この特性方程式は因数分解でき、$(r - 2)^2 = 0$ となります。

したがって、重解 $r = 2$ を得ます。

3. 一般解を構成します。

重解を持つ場合、一般解は $y = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}$ の形式で表されます。

したがって、$y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$ が一般解です。

3. **最終的な答え**

* 問題4: $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$

* 問題5: $y = C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$