与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 5y = 8e^x$ の一般解が $y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2)$ で与えられている。選択肢の中から、この微分方程式の特殊解となるものを全て選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 5y = 8e^x$

の一般解が

$y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2)$

で与えられている。選択肢の中から、この微分方程式の特殊解となるものを全て選ぶ。

2. 解き方の手順

与えられた一般解

$y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2)$

において、$C_1$ と $C_2$ を具体的な数値にすることで、特殊解が得られる。

それぞれの選択肢について、この形式に当てはまるかどうかを調べる。

* $y=2$: $e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2)$ という形ではないので、特殊解ではない。

* $y=e^x$: $C_1=0, C_2=0$としたとき$2e^x$となるので当てはまらない。

* $y=2e^x$: $C_1=0, C_2=0$としたとき$2e^x$となるので当てはまる。

* $y=e^x - 1$: $e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2)$ という形ではないので、特殊解ではない。

* $y=e^x \sin 2x + 2e^x$: $e^x(\sin 2x + 2)$となり$C_1=0, C_2=1$としたとき$2e^x$となるので当てはまる。

* $y=e^x \cos 2x + e^x$: $e^x(\cos 2x + 1)$となり$C_1=1, C_2=0$としたとき$2e^x$となるので当てはまる。

* $y=e^x \cos 2x + 2e^x$: $e^x(\cos 2x + 2)$となり$C_1=1, C_2=0$としたとき$2e^x$となるので当てはまる。

3. 最終的な答え

$y = 2e^x$

$y = e^x \sin 2x + 2e^x$

$y = e^x \cos 2x + e^x$

$y = e^x \cos 2x + 2e^x$