与えられた2階線形微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x+1$ の一般解が $y = C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1$ で与えられています。この一般解を持つ微分方程式の特殊解となるものを、選択肢からすべて選びます。

1. 問題の内容

与えられた2階線形微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x+1$

の一般解が

$y = C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1$

で与えられています。この一般解を持つ微分方程式の特殊解となるものを、選択肢からすべて選びます。

2. 解き方の手順

特殊解とは、一般解に含まれる任意定数 $C_1$ と $C_2$ に特定の値を与えたものです。したがって、各選択肢の関数が、一般解において適切な $C_1$ と $C_2$ を選ぶことで得られるかどうかを確認します。

* $y = 1$: $C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1 = 1$ となるためには、$C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 2 = 0$となる必要があります。$e^{-3x}, e^{-x}, x$は線形独立なので、これを満たす定数 $C_1$ と $C_2$ は存在しません。

* $y = x$: $C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1 = x$ となるためには、$C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} - 1 = 0$となる必要があります。同様に、$e^{-3x}, e^{-x}$と定数項は線形独立なので、これを満たす定数 $C_1$ と $C_2$ は存在しません。

* $y = x-1$: $C_1 = 0, C_2 = 0$ とすることで、$y = x - 1$ が得られます。したがって、$y = x-1$ は特殊解です。

* $y = e^{-x} - 1$: $C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1 = e^{-x} - 1$ となるためには、$C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x = e^{-x}$となる必要があります。これは、$C_1e^{-3x} + (C_2 - 1)e^{-x} + x = 0$ と同値です。$e^{-3x}, e^{-x}, x$は線形独立なので、$C_1=0$, $C_2 - 1 = 0$ すなわち $C_2=1$, そして $x=0$ となります。これはすべての$x$について成り立つわけではないので、$y=e^{-x}-1$ は特殊解ではありません。

* $y = e^{-x} + x - 1$: $C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1 = e^{-x} + x - 1$ となるためには、$C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} = e^{-x}$となる必要があります。これは、$C_1e^{-3x} + (C_2 - 1)e^{-x} = 0$ と同値です。$e^{-3x}$と $e^{-x}$が線形独立なので、$C_1=0$と$C_2 - 1 = 0$, つまり$C_2=1$であればこの式が成り立ちます。したがって、$y=e^{-x}+x-1$ は特殊解です。

* $y = e^{-3x} + x$: $C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1 = e^{-3x} + x$ となるためには、$C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} - 1 = e^{-3x}$となる必要があります。これは、$(C_1-1)e^{-3x} + C_2e^{-x} - 1 = 0$と同値です。 $e^{-3x}, e^{-x}$と定数項は線形独立なので、$C_1 - 1 = 0$, $C_2=0$かつ$-1=0$が必要になり、矛盾します。したがって、$y=e^{-3x}+x$ は特殊解ではありません。

* $y = e^{-3x} + x - 1$: $C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1 = e^{-3x} + x - 1$ となるためには、$C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} = e^{-3x}$となる必要があります。これは、$(C_1 - 1)e^{-3x} + C_2e^{-x} = 0$ と同値です。$e^{-3x}$と $e^{-x}$が線形独立なので、$C_1-1 = 0$, つまり$C_1 = 1$かつ$C_2=0$であればこの式が成り立ちます。したがって、$y = e^{-3x} + x - 1$ は特殊解です。

3. 最終的な答え

$y = x-1$

$y = e^{-x} + x - 1$

$y = e^{-3x} + x - 1$