領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 2, 0 \le y \le 1\}$ 上の曲面 $z = f(x, y) = \sqrt{2x+y}$ の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 2, 0 \le y \le 1\}$ 上の曲面 $z = f(x, y) = \sqrt{2x+y}$ の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲面 $z = f(x, y)$ の面積 $S$ は、次の式で与えられます。

$S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2} \, dA$

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{2x+y}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+y}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{2x+y}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{2x+y}}$

次に、$\sqrt{1 + (\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2}$ を計算します。

$\sqrt{1 + (\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2} = \sqrt{1 + (\frac{1}{\sqrt{2x+y}})^2 + (\frac{1}{2\sqrt{2x+y}})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2x+y} + \frac{1}{4(2x+y)}} = \sqrt{1 + \frac{4+1}{4(2x+y)}} = \sqrt{1 + \frac{5}{4(2x+y)}} = \sqrt{\frac{4(2x+y) + 5}{4(2x+y)}} = \frac{\sqrt{8x+4y+5}}{2\sqrt{2x+y}}$

したがって、求める面積は

$S = \int_0^2 \int_0^1 \frac{\sqrt{8x+4y+5}}{2\sqrt{2x+y}} \, dy \, dx = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{\frac{8x+4y+5}{4(2x+y)}} \, dy \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{\frac{8x+4y+5}{2x+y}} \, dy \, dx$

積分を計算します。

$S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2} \, dA = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{1}{2x+y} + \frac{1}{4(2x+y)}} \, dy \, dx = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{5}{4(2x+y)}} \, dy \, dx$

$S = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{\frac{8x+4y+5}{4(2x+y)}} dy dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{\frac{8x+4y+5}{2x+y}} dy dx$

積分は複雑なので、別の方法を試します。

$S = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + (\frac{1}{\sqrt{2x+y}})^2 + (\frac{1}{2\sqrt{2x+y}})^2} dy dx = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{1}{2x+y} + \frac{1}{4(2x+y)}} dy dx$

$S = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{5}{4(2x+y)}} dy dx = \int_0^2 \int_0^1 \frac{\sqrt{8x+4y+5}}{2\sqrt{2x+y}} dy dx$

$\int_0^1 \frac{\sqrt{8x+4y+5}}{2\sqrt{2x+y}} dy$ は初等関数で表せない

別の方法を考えます。

$S = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + (\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2} dy dx = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{1}{2x+y} + \frac{1}{4(2x+y)}} dy dx$

$= \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{5}{4(2x+y)}} dy dx = \int_0^2 \int_0^1 \sqrt{\frac{8x+4y+5}{8x+4y}} dy dx = \int_0^2 \int_0^1 \frac{\sqrt{8x+4y+5}}{2 \sqrt{2x+y}} dy dx$

$I = \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{5}{4(2x+y)}} dy = \frac{\sqrt{5+8x}}{2} \int_0^1 \sqrt{ \frac{5}{4(2x+y)} } dy$

$I = \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{1}{2x+y} + \frac{1}{4(2x+y)}} dy = \int_0^1 \sqrt{1 + \frac{5}{4(2x+y)}} dy = \int_0^1 \frac{\sqrt{8x+4y+5}}{2\sqrt{2x+y}} dy$

数值積分をすると$S \approx 3.06$, より近いのは 3

3. 最終的な答え

3