領域 $D = \{(x,y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ 上の曲面 $z = f(x,y) = 2x + 2y$ の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x,y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ 上の曲面 $z = f(x,y) = 2x + 2y$ の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲面の面積は、以下の式で計算できます。

$S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \, dx \, dy$

まず、$z$ の偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x + 2y) = 2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x + 2y) = 2$

これらの偏微分を面積の公式に代入します。

$S = \iint_D \sqrt{1 + 2^2 + 2^2} \, dx \, dy = \iint_D \sqrt{1 + 4 + 4} \, dx \, dy = \iint_D \sqrt{9} \, dx \, dy = \iint_D 3 \, dx \, dy$

$D$ は $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$ の正方形領域なので、積分は次のようになります。

$S = \int_0^1 \int_0^1 3 \, dx \, dy = 3 \int_0^1 \int_0^1 dx \, dy = 3 \int_0^1 [x]_0^1 dy = 3 \int_0^1 (1 - 0) dy = 3 \int_0^1 dy = 3 [y]_0^1 = 3 (1 - 0) = 3$

3. 最終的な答え

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