$\theta$を$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$を満たす定数とし、自然数$n$に対して$a_n = \tan \frac{\theta}{2^n}$とおく。 (1) 数列$\{2^n a_n\}$の極限を求めよ。 (2) $n$が2以上のとき$\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \frac{2}{a_{n-1}^2}$が成り立つことを示せ。 (3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{2^k}$とおく。$n$が2以上のとき、$S_n$を$a_1$と$a_n$で表せ。 (4) 無限級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}$の和を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

$\theta$を$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$を満たす定数とし、自然数$n$に対して$a_n = \tan \frac{\theta}{2^n}$とおく。

(1) 数列$\{2^n a_n\}$の極限を求めよ。

(2) $n$が2以上のとき$\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \frac{2}{a_{n-1}^2}$が成り立つことを示せ。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{2^k}$とおく。$n$が2以上のとき、$S_n$を$a_1$と$a_n$で表せ。

(4) 無限級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}$の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \tan \frac{\theta}{2^n}$より、$\lim_{n \to \infty} 2^n a_n = \lim_{n \to \infty} 2^n \tan \frac{\theta}{2^n}$である。$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$を利用する。$\frac{\theta}{2^n} = x$とおくと、$n \to \infty$のとき$x \to 0$となる。したがって、$\lim_{n \to \infty} 2^n a_n = \lim_{x \to 0} \frac{\theta}{x} \tan x = \theta \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \theta$

(2) $\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^n}} - \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^{n-1}}} = \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^n}} - \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^{n-1}}}$を計算する。

倍角の公式$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$より$\frac{1}{\tan 2x} = \frac{1 - \tan^2 x}{2 \tan x} = \frac{1}{2 \tan x} - \frac{\tan x}{2}$

よって、$\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{\tan 2x} = \frac{1}{\tan x} - (\frac{1}{2 \tan x} - \frac{\tan x}{2}) = \frac{1}{2 \tan x} + \frac{\tan x}{2} = \frac{1 + \tan^2 x}{2 \tan x} = \frac{1}{2} \frac{1}{\tan x \cos^2 x} = \frac{1}{2 \sin x \cos x}$

$\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^n}} - \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^{n-1}}}$において、$x = \frac{\theta}{2^n}$とおくと、$\frac{\theta}{2^{n-1}} = 2x$となるので、

$\frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^n}} - \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2^{n-1}}} = \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{\tan 2x} = \frac{1 + \tan^2 x}{2 \tan x} = \frac{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2^n}}{2 \tan \frac{\theta}{2^n}}$となる。一方、$\frac{2}{a_{n-1}^2} = \frac{2}{\tan^2 \frac{\theta}{2^{n-1}}} = \frac{2}{\tan^2 \frac{\theta}{2^{n-1}}} = \frac{2}{\tan^2 2x}$となるので、示すべき式は成立しない。

$\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \frac{1}{\tan(\theta/2^n)} - \frac{1}{\tan(\theta/2^{n-1})} = \cot(\theta/2^n) - \cot(\theta/2^{n-1})$.

ここで，$\cot x - \cot 2x = \cot x - \frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} = \frac{2\cot^2 x - \cot^2 x + 1}{2\cot x} = \frac{\cot^2 x + 1}{2\cot x} = \frac{1}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin 2x}$

より

$\cot(\theta/2^n) - \cot(\theta/2^{n-1}) = \cot(\theta/2^n) - \cot(2 \cdot \theta/2^n) = \frac{1}{2} (\cot(\theta/2^n) - \tan(\theta/2^n)) = \frac{1}{\tan 2x}$

正しくは，

$\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \cot(\frac{\theta}{2^n}) - \cot(\frac{\theta}{2^{n-1}})$

$= \cot(\frac{\theta}{2^n}) - \cot(2\frac{\theta}{2^n})$

$= \cot(\frac{\theta}{2^n}) - \frac{\cot^2(\frac{\theta}{2^n}) - 1}{2 \cot(\frac{\theta}{2^n})}$

$= \frac{2\cot^2(\frac{\theta}{2^n}) - (\cot^2(\frac{\theta}{2^n}) - 1)}{2 \cot(\frac{\theta}{2^n})}$

$= \frac{\cot^2(\frac{\theta}{2^n}) + 1}{2 \cot(\frac{\theta}{2^n})} = \frac{1}{2} (\cot(\frac{\theta}{2^n}) + \tan(\frac{\theta}{2^n}))$

(3) $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k} = \sum_{k=1}^n \frac{\tan(\theta / 2^k)}{2^k}$

$\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k-1}} = \frac{2}{a_{k-1}^2}$より，$a_k = \tan \frac{\theta}{2^k}$を利用する。

(4) 無限級数$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}$の和を求める。

3. 最終的な答え

(1) $\theta$

(2) $\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \frac{1}{2}[\cot (\frac{\theta}{2^n}) - \cot (\frac{\theta}{2^{n-1}})]$

(3) $S_n = \frac{a_k}{2^k}$

(4)