$\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx = \frac{x}{ア} - \frac{\sin イ x}{ウエ} + C$ の積分を計算し、ア、イ、ウエに当てはまる数字を求める。

1. 問題の内容

$\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx = \frac{x}{ア} - \frac{\sin イ x}{ウエ} + C$ の積分を計算し、ア、イ、ウエに当てはまる数字を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ であることを利用して、積分を簡単にします。

$\sin^2 x \cos^2 x = (\sin x \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2x$

したがって、

$\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx = \int \frac{1}{4}\sin^2 2x \, dx$

次に、$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta)$ という公式を用いて、$\sin^2 2x$ を変形します。

$\sin^2 2x = \frac{1}{2}(1 - \cos 4x)$

したがって、

$\int \frac{1}{4}\sin^2 2x \, dx = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}(1 - \cos 4x) \, dx = \frac{1}{8}\int (1 - \cos 4x) \, dx$

これを積分すると、

$\frac{1}{8}\int (1 - \cos 4x) \, dx = \frac{1}{8}\left(x - \frac{1}{4}\sin 4x\right) + C = \frac{1}{8}x - \frac{1}{32}\sin 4x + C$

$\frac{1}{8}x - \frac{1}{32}\sin 4x + C = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$

したがって、$ア=8$, $イ=4$, $ウエ=32$

3. 最終的な答え

ア: 8

イ: 4

ウエ: 32