与えられた積分 $\int \frac{x+7}{(x-1)(x+3)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x+7}{(x-1)(x+3)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分分数分解を用います。被積分関数 $\frac{x+7}{(x-1)(x+3)}$ を次の形に分解します。

$\frac{x+7}{(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}$

両辺に $(x-1)(x+3)$ を掛けると、

$x+7 = A(x+3) + B(x-1)$

この式がすべての $x$ について成り立つように、AとBの値を求めます。

$x = 1$ を代入すると、

$1+7 = A(1+3) + B(1-1)$

$8 = 4A$

$A = 2$

$x = -3$ を代入すると、

$-3+7 = A(-3+3) + B(-3-1)$

$4 = -4B$

$B = -1$

したがって、

$\frac{x+7}{(x-1)(x+3)} = \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+3}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{x+7}{(x-1)(x+3)} dx = \int \left( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+3} \right) dx$

$= 2 \int \frac{1}{x-1} dx - \int \frac{1}{x+3} dx$

$= 2 \ln |x-1| - \ln |x+3| + C$

3. 最終的な答え

$2 \ln |x-1| - \ln |x+3| + C$