半径 $r$ の円柱を、底面の直径 $AB$ を通り、底面と $\frac{\pi}{3}$ の角をなす平面で切るとき、底面と平面の間の部分の体積 $V$ を求める問題です。ただし、円柱の高さは $r$ よりも十分に大きいものとします。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円柱を、底面の直径 $AB$ を通り、底面と $\frac{\pi}{3}$ の角をなす平面で切るとき、底面と平面の間の部分の体積 $V$ を求める問題です。ただし、円柱の高さは $r$ よりも十分に大きいものとします。

2. 解き方の手順

体積 $V$ を求めるために、積分を用います。底面を $xy$ 平面とし、$AB$ が $x$ 軸上にあるとします。平面は $z = y \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}y$ で表されます。体積 $V$ は以下の二重積分で計算できます。

$V = \iint_D z \, dxdy = \iint_D \sqrt{3}y \, dxdy$

ここで、$D$ は底面の半円 $x^2 + y^2 \le r^2, y \ge 0$ です。

積分を計算するために、極座標変換 $x = \rho \cos \theta$, $y = \rho \sin \theta$ を行います。このとき、ヤコビアンは $\rho$ であり、$0 \le \rho \le r$, $0 \le \theta \le \pi$ です。

したがって、積分は以下のようになります。

$V = \int_0^\pi \int_0^r \sqrt{3} (\rho \sin \theta) \rho \, d\rho d\theta = \sqrt{3} \int_0^\pi \sin \theta d\theta \int_0^r \rho^2 d\rho$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^\pi \sin \theta d\theta = [-\cos \theta]_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2$

$\int_0^r \rho^2 d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^r = \frac{r^3}{3}$

したがって、体積 $V$ は

$V = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{r^3}{3} = \frac{2\sqrt{3}r^3}{3}$

3. 最終的な答え

$V = \frac{2\sqrt{3}r^3}{3}$