関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = x \int_{-1}^1 f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = x \int_{-1}^1 f(t) dt + 1$ を満たすとき、$f(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{-1}^1 f(t) dt$ は定数なので、これを $A$ とおきます。

$A = \int_{-1}^1 f(t) dt$

すると、与えられた式は次のようになります。

$f(x) = Ax + 1$

この $f(x)$ を積分の中に代入します。

$A = \int_{-1}^1 (At + 1) dt$

積分を実行します。

$A = \left[ \frac{1}{2}At^2 + t \right]_{-1}^1$

$A = \left( \frac{1}{2}A(1)^2 + 1 \right) - \left( \frac{1}{2}A(-1)^2 - 1 \right)$

$A = \left( \frac{1}{2}A + 1 \right) - \left( \frac{1}{2}A - 1 \right)$

$A = \frac{1}{2}A + 1 - \frac{1}{2}A + 1$

$A = 2$

したがって、$A = 2$ となります。これを $f(x) = Ax + 1$ に代入します。

$f(x) = 2x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x + 1$