関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2x+1}-1}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$ この関数が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2x+1}-1}{x} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$

この関数が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を確認します。問題文より、$f(0) = 1$ です。

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を計算します。$x \neq 0$ のとき、$f(x) = \frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}$ を計算します。

この極限を求めるために、分子を有理化します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2x+1}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{2x+1}-1)(\sqrt{2x+1}+1)}{x(\sqrt{2x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(2x+1)-1}{x(\sqrt{2x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{2x+1}+1)}$

$x \neq 0$ であるから、$x$ で約分できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{2x+1}+1} = \frac{2}{\sqrt{2(0)+1}+1} = \frac{2}{\sqrt{1}+1} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ です。

最後に、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ を確認します。

$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ であり、$f(0) = 1$ であるから、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

以上の結果から、$f(x)$ は $x=0$ で連続である。