与えられた極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2}$

2. 解き方の手順

$\sin$関数の範囲は $-1 \leq \sin x \leq 1$ であることを利用します。したがって、

$-1 \leq \sin \frac{n\pi}{2} \leq 1$

となります。この不等式の各辺を $n$ で割ると、

$-\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2} \leq \frac{1}{n}$

が得られます。$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ であるため、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2} = 0$

3. 最終的な答え

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