放物線 $y = -x^2 - x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 - x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線と $x$ 軸の交点を求めます。$y = 0$ とおいて、$x$ について解きます。

$-x^2 - x + 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

したがって、$x = -2, 1$ が交点の $x$ 座標です。

次に、定積分を用いて面積を計算します。放物線が $x$ 軸の上にある区間（$-2 \le x \le 1$）で定積分を行います。ただし、放物線は上に凸なので、定積分の値は負になるはずです。したがって、面積を求めるには絶対値を取る必要があります。

$\int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1}$

$= \left(-\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 + 2(1)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2)\right)$

$= \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right)$

$= -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6$

$= -\frac{9}{3} - \frac{1}{2} + 8$

$= -3 - \frac{1}{2} + 8$

$= 5 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

したがって、面積は $\frac{9}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$