以下の極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求めます。 (1) $\lim_{x\to\infty} (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5)$ (2) $\lim_{x\to\infty} (6 + x - x^2)$ (3) $\lim_{x\to-\infty} 2^x$ (4) $\lim_{x\to-2} \frac{2}{(x+2)^2}$ (5) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + 2^{-x}}$ (6) $\lim_{x\to\infty} \sin(\frac{x}{2})$

はい、承知いたしました。与えられた問題 Q3.7 について、収束・発散を調べ、収束する場合には極限値を求めます。

1. 問題の内容

以下の極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求めます。

(1) $\lim_{x\to\infty} (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5)$

(2) $\lim_{x\to\infty} (6 + x - x^2)$

(3) $\lim_{x\to-\infty} 2^x$

(4) $\lim_{x\to-2} \frac{2}{(x+2)^2}$

(5) $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + 2^{-x}}$

(6) $\lim_{x\to\infty} \sin(\frac{x}{2})$

2. 解き方の手順

(1) $x \to \infty$ のとき、$2x^3$ が支配的になるため、$\lim_{x\to\infty} (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) = \infty$。発散します。

(2) $x \to \infty$ のとき、$-x^2$ が支配的になるため、$\lim_{x\to\infty} (6 + x - x^2) = -\infty$。発散します。

(3) $x \to -\infty$ のとき、$2^x \to 0$ なので、$\lim_{x\to-\infty} 2^x = 0$。収束し、極限値は 0 です。

(4) $x \to -2$ のとき、$(x+2)^2 \to 0$ であり、$(x+2)^2 > 0$ なので、$\frac{2}{(x+2)^2} \to \infty$。よって、$\lim_{x\to-2} \frac{2}{(x+2)^2} = \infty$。発散します。

(5) $x \to \infty$ のとき、$-x \to -\infty$ なので、$2^{-x} \to 0$。よって、$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + 2^{-x}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$。収束し、極限値は 1 です。

(6) $x \to \infty$ のとき、$\frac{x}{2}$ も $\infty$ に発散しますが、$\sin(\frac{x}{2})$ は -1 と 1 の間を振動します。したがって、極限は存在しません。発散します。

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 発散

(3) 0

(4) 発散

(5) 1

(6) 発散