## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

(1) $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)^n$ を求めよ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n+1}{a^n-1}$ を求めよ。ただし、$a>0$ とする。

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2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

$\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)^n$ の極限を求める。

この形は $1^\infty$ の不定形である。

1. 対数を取る: $y = \left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)^n$ とすると、$\log y = n \log \left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right) = n \left[\log \left(1+\frac{1}{n}\right) - \log \left(1+\frac{3}{n}\right)\right]$ となる。

2. テイラー展開（またはマクローリン展開）を利用する。$\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ であるから、$x \approx 0$ のとき $\log(1+x) \approx x$ と近似できる。

$\log y \approx n \left(\frac{1}{n} - \frac{3}{n}\right) = n \left(-\frac{2}{n}\right) = -2$

3. $\lim_{n \to \infty} \log y = -2$ より、$\lim_{n \to \infty} y = e^{-2}$

**(2) の解き方**

$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n+1}{a^n-1}$ を $a$ の値によって場合分けして考える。

1. $a > 1$ のとき:

分子と分母を $a^n$ で割ると、$\frac{1+\frac{1}{a^n}}{1-\frac{1}{a^n}}$ となる。$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{a^n} \to 0$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n+1}{a^n-1} = \frac{1+0}{1-0} = 1$ となる。

2. $a = 1$ のとき:

$\frac{a^n+1}{a^n-1} = \frac{1^n+1}{1^n-1} = \frac{2}{0}$ となり、極限は存在しない。

3. $0 < a < 1$ のとき:

$n \to \infty$ のとき、$a^n \to 0$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n+1}{a^n-1} = \frac{0+1}{0-1} = -1$ となる。

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3. 最終的な答え

(1) $e^{-2}$

(2)

* $a > 1$ のとき: $1$

* $a = 1$ のとき: 極限は存在しない

* $0 < a < 1$ のとき: $-1$