$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin 2\theta - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin 2\theta - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数を変形する。三角関数の合成を用いる。

$y = \sin 2\theta - \cos 2\theta = \sqrt{2} \sin (2\theta - \frac{\pi}{4})$

$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ なので、$2\theta$ の範囲は $0 \le 2\theta \le \pi$ である。

したがって、$2\theta - \frac{\pi}{4}$ の範囲は $-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ となる。

この範囲において、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$ の最大値は $1$ であり、最小値は $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

よって、$y$ の最大値は $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ であり、最小値は $\sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$ である。

最大値をとるのは、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$ のときである。

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より、$2\theta = \frac{3\pi}{4}$ であり、$\theta = \frac{3\pi}{8}$ である。

最小値をとるのは、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。

$2\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ より、$2\theta = 0$ であり、$\theta = 0$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{8}$ のとき)

最小値: $-1$ ($\theta = 0$ のとき)