次の級数の和を求めます。 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

1. 問題の内容

次の級数の和を求めます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}$

両辺に $n(n+1)(n+2)$ をかけると、

$1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)$

$n=0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$n=-1$ のとき、$1 = -B$ より $B = -1$

$n=-2$ のとき、$1 = 2C$ より $C = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}$

級数の和を計算します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)})$

$= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2})$

$= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{2}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}) + \cdots ]$

$= \frac{1}{2} [\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \lim_{n\to\infty}(-\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)})]$

$= \frac{1}{2} [1-1+\frac{1}{2}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$