(1) 関数 $f(x) = e^x - \sin(x)$ のマクローリン展開を3次まで求める。 (2) (1)で求めたマクローリン展開を$g(x)$とおき、$g(x)$の増減、凹凸を調べ、曲線$y=g(x)$の概形を描く。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = e^x - \sin(x)$ のマクローリン展開を3次まで求める。

(2) (1)で求めたマクローリン展開を$g(x)$とおき、$g(x)$の増減、凹凸を調べ、曲線$y=g(x)$の概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) マクローリン展開を求める。

マクローリン展開は、関数$f(x)$に対して、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

で与えられる。今回は3次までの展開を求めるので、3次までの項を計算する。

$f(x) = e^x - \sin(x)$

$f(0) = e^0 - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

$f'(x) = e^x - \cos(x)$

$f'(0) = e^0 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$

$f''(x) = e^x + \sin(x)$

$f''(0) = e^0 + \sin(0) = 1 + 0 = 1$

$f'''(x) = e^x + \cos(x)$

$f'''(0) = e^0 + \cos(0) = 1 + 1 = 2$

したがって、$f(x)$のマクローリン展開の3次までの項は、

$f(x) = 1 + 0\cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \cdots$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots$

(2) 関数$g(x)$の増減、凹凸を調べ、概形を描く。

(1)の結果より、$g(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$ である。

まず、$g'(x)$を求める。

$g'(x) = x + x^2 = x(1+x)$

$g'(x) = 0$となるのは、$x = 0, -1$

次に、$g''(x)$を求める。

$g''(x) = 1 + 2x$

$g''(x) = 0$となるのは、$x = -\frac{1}{2}$

増減表を作成する。

| x | ... | -1 | ... | -1/2 | ... | 0 | ... |

| --- | --- | ---- | --- | ----- | --- | --- | --- |

| g'(x) | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| g''(x) | - | - | - | 0 | + | + | + |

| g(x) | 増加 | 極大値 | 減少 | 変曲点 | 減少 | 極小値 | 増加 |

$g(-1) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{6+3-2}{6} = \frac{7}{6}$

$g(0) = 1$

$g(-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) + \frac{1}{3}(-\frac{1}{8}) = 1 + \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{24+3-1}{24} = \frac{26}{24} = \frac{13}{12}$

$g(x)$は、$x=-1$で極大値$\frac{7}{6}$をとり、$x=0$で極小値1をとる。$x=-\frac{1}{2}$で変曲点を持ち、$-\infty < x < -\frac{1}{2}$で上に凸、$-\frac{1}{2} < x < \infty$で下に凸である。

これらの情報をもとに、曲線$y=g(x)$の概形を描く。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots$

(2) $g(x)$の増減、凹凸を調べた結果と、$y=g(x)$の概形。詳細は上記参照。