領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ 上の二重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ を極座標変換を用いて計算し、正しい選択肢を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ 上の二重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ を極座標変換を用いて計算し、正しい選択肢を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

極座標変換を $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

積分領域 $D$ は、$1 \le x^2 + y^2 \le 4$ より、$1 \le r^2 \le 4$ なので、$1 \le r \le 2$ となります。

$\theta$ は全範囲を動くので、$0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

したがって、二重積分は次のようになります。

$\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^3 \, dr \, d\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_1^2 r^3 \, dr = \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]_1^2 = \frac{1}{4} (2^4 - 1^4) = \frac{1}{4} (16 - 1) = \frac{15}{4}$

次に、$\theta$ について積分します。

$\int_0^{2\pi} \frac{15}{4} \, d\theta = \frac{15}{4} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{15}{4} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{15}{4} (2\pi - 0) = \frac{15}{4} \cdot 2\pi = \frac{15\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{15\pi}{2}$