与えられた3つの積分を計算する問題です。 (a) $\int \sin^2x \cos^2x dx$ (b) $\int (3x+7)e^{2x} dx$ (c) $f(x) = \int_0^1 x^2(2x^3-3)^3 dx$ これらの積分を計算し、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの積分を計算する問題です。

(a) $\int \sin^2x \cos^2x dx$

(b) $\int (3x+7)e^{2x} dx$

(c) $f(x) = \int_0^1 x^2(2x^3-3)^3 dx$

これらの積分を計算し、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

(a) $\int \sin^2x \cos^2x dx$ の計算

$\sin^2x \cos^2x = (\sin x \cos x)^2 = (\frac{1}{2} \sin 2x)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x$

$\sin^2 2x = \frac{1-\cos 4x}{2}$ より、

$\int \sin^2x \cos^2x dx = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1-\cos 4x}{2} dx = \frac{1}{8} \int (1-\cos 4x) dx = \frac{1}{8} (x - \frac{1}{4} \sin 4x) + C = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$

よって、ア=8, イ=4, ウエ=32

(b) $\int (3x+7)e^{2x} dx$ の計算

部分積分を用いる。

$u = 3x+7, dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = 3 dx, v = \frac{1}{2} e^{2x}$

$\int (3x+7)e^{2x} dx = (3x+7) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cdot 3 dx = \frac{1}{2}(3x+7)e^{2x} - \frac{3}{2} \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}(3x+7)e^{2x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + C = \frac{1}{2}(3x+7)e^{2x} - \frac{3}{4} e^{2x} + C = \frac{1}{4}(2(3x+7)-3)e^{2x} + C = \frac{1}{4}(6x+14-3)e^{2x} + C = \frac{1}{4}(6x+11)e^{2x} + C$

よって、オ=4, カ=6, キク=11

(c) $f(x) = \int_0^1 x^2(2x^3-3)^3 dx$ の計算

$u = 2x^3-3$ とすると、$du = 6x^2 dx$ より、$x^2 dx = \frac{1}{6} du$

$x=0$ のとき $u = 2(0)^3-3 = -3$

$x=1$ のとき $u = 2(1)^3-3 = -1$

$\int_0^1 x^2(2x^3-3)^3 dx = \int_{-3}^{-1} u^3 \cdot \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int_{-3}^{-1} u^3 du = \frac{1}{6} [\frac{1}{4} u^4]_{-3}^{-1} = \frac{1}{24} [u^4]_{-3}^{-1} = \frac{1}{24} ((-1)^4 - (-3)^4) = \frac{1}{24} (1 - 81) = \frac{1}{24} (-80) = -\frac{80}{24} = -\frac{10}{3}$

よって、ケコサ=10, シ=3

3. 最終的な答え

ア=8, イ=4, ウエ=32

オ=4, カ=6, キク=11

ケコサ=10, シ=3