(1) 2つの曲線 $y = 2x^2 - 7x + 9$ と $y = 5x - x^2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。 (2) $a$ を正の定数とするとき、曲線 $x = a\cos t$, $y = a\sin t$ ($\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3}$) の長さ $l$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2つの曲線 $y = 2x^2 - 7x + 9$ と $y = 5x - x^2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

(2) $a$ を正の定数とするとき、曲線 $x = a\cos t$, $y = a\sin t$ ($\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3}$) の長さ $l$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2つの曲線の交点の $x$ 座標を求める。

$2x^2 - 7x + 9 = 5x - x^2$

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

$x = 1, 3$

$1 \le x \le 3$ において、$5x - x^2 \ge 2x^2 - 7x + 9$ である。

よって、面積 $S$ は

$S = \int_1^3 (5x - x^2 - (2x^2 - 7x + 9)) dx$

$S = \int_1^3 (-3x^2 + 12x - 9) dx$

$S = [-x^3 + 6x^2 - 9x]_1^3$

$S = (-27 + 54 - 27) - (-1 + 6 - 9)$

$S = 0 - (-4)$

$S = 4$

(2)

曲線 $x = a\cos t$, $y = a\sin t$ の長さ $l$ は

$\frac{dx}{dt} = -a\sin t$

$\frac{dy}{dt} = a\cos t$

$l = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$l = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2} dt$

$l = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t} dt$

$l = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t)} dt$

$l = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sqrt{a^2} dt$

$l = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} a dt$

$l = [at]_{\pi/3}^{2\pi/3}$

$l = a(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3})$

$l = a\frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\frac{a\pi}{3}$