4つの積分と極限の問題が与えられています。 (1) $\int \frac{dx}{(5x+3)^2}$ を計算し、空欄を埋める。 (2) $\int e^{3x} \cos x \, dx$ を計算し、空欄を埋める。 (3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} \, dx$ を計算し、空欄を埋める。 (4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} \, dt$ を計算し、空欄を埋める。

1. 問題の内容

4つの積分と極限の問題が与えられています。

(1) $\int \frac{dx}{(5x+3)^2}$ を計算し、空欄を埋める。

(2) $\int e^{3x} \cos x \, dx$ を計算し、空欄を埋める。

(3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} \, dx$ を計算し、空欄を埋める。

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} \, dt$ を計算し、空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{dx}{(5x+3)^2}$

$u = 5x+3$ と置換すると、$du = 5dx$ より $dx = \frac{1}{5}du$。よって、

$\int \frac{dx}{(5x+3)^2} = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^{-2} du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{5u} + C = -\frac{1}{5(5x+3)} + C = -\frac{1}{25x+15} + C$.

よって、$-\frac{1}{5(5x+3)} + C$.

ア = -1, イウ = 5, エオ =

3.

(2) $\int e^{3x} \cos x \, dx$

部分積分を2回用いる。

$I = \int e^{3x} \cos x \, dx$.

$u = e^{3x}$, $dv = \cos x \, dx$.

$du = 3e^{3x} \, dx$, $v = \sin x$.

$I = e^{3x} \sin x - \int 3e^{3x} \sin x \, dx = e^{3x} \sin x - 3 \int e^{3x} \sin x \, dx$.

次に、$J = \int e^{3x} \sin x \, dx$ を計算する。

$u = e^{3x}$, $dv = \sin x \, dx$.

$du = 3e^{3x} \, dx$, $v = -\cos x$.

$J = -e^{3x} \cos x - \int 3e^{3x} (-\cos x) \, dx = -e^{3x} \cos x + 3 \int e^{3x} \cos x \, dx = -e^{3x} \cos x + 3I$.

よって、$I = e^{3x} \sin x - 3(-e^{3x} \cos x + 3I) = e^{3x} \sin x + 3e^{3x} \cos x - 9I$.

$10I = e^{3x} \sin x + 3e^{3x} \cos x$.

$I = \frac{1}{10} e^{3x} (\sin x + 3 \cos x) + C$.

よって、カキ = 10, グ = 3, ケ =

3.

(3) $\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} \, dx$

部分分数分解を行う。$\frac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$。

$x+5 = A(x+2) + B(x-1)$.

$x=1$ のとき、$6 = 3A$ より $A=2$.

$x=-2$ のとき、$3 = -3B$ より $B=-1$.

よって、$\int \frac{x+5}{(x-1)(x+2)} \, dx = \int \left( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = 2 \ln |x-1| - \ln |x+2| + C = \ln \frac{(x-1)^2}{|x+2|} + C = \ln \left( \frac{x^2-2x+1}{|x+2|} \right) + C$.

これは、$\ln \frac{(x-1)^2}{|x+2|}$の形であるので、サシ=-1, ス = 2, コ = 2。

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2+4} \, dt$

これは、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 2} \frac{\int_2^x \sqrt{t^2+4} \, dt}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+4}}{1} = \sqrt{2^2+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

よって、セ = 2, ソ = 2。

3. 最終的な答え

(1) ア = -1, イウ = 5, エオ = 3

(2) カキ = 10, グ = 3, ケ = 3

(3) サシ = -1, ス = 2, コ = 2

(4) セ = 2, ソ = 2