次の関数の導関数を求めます。 (1) $ \sin^{-1} x $ ($ -1 < x < 1 $) (2) $ \sin 5x $ (3) $ \sin(\sqrt{x}) $ ($ 0 < x \le \pi $) (4) $ (\cos x)^{\tan x} $ ($ 0 \le x < \pi $)

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

(1) $\sin^{-1} x$ ($-1 < x < 1$)

(2) $\sin 5x$

(3) $\sin(\sqrt{x})$ ($0 < x \le \pi$)

(4) $(\cos x)^{\tan x}$ ($0 \le x < \pi$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1} x$ の導関数を求めます。

$\sin y = x$ となるので、両辺を $x$ で微分すると、

$\cos y \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$

$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $y = \sin 5x$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin 5x) = \cos 5x \cdot \frac{d}{dx}(5x) = 5 \cos 5x$

(3) $y = \sin(\sqrt{x})$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sin(\sqrt{x}) = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(4) $y = (\cos x)^{\tan x}$ の導関数を求めます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \tan x \ln (\cos x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \ln(\cos x) + \tan x \cdot \frac{-\sin x}{\cos x} = \sec^2 x \ln(\cos x) - \tan^2 x$

$\frac{dy}{dx} = y (\sec^2 x \ln(\cos x) - \tan^2 x) = (\cos x)^{\tan x} (\sec^2 x \ln(\cos x) - \tan^2 x)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $5 \cos 5x$

(3) $\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

(4) $(\cos x)^{\tan x} (\sec^2 x \ln(\cos x) - \tan^2 x)$