与えられた積分 $I$ を求めます。 $$ I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx \quad (x > 1) $$

1. 問題の内容

与えられた積分 $I$ を求めます。

$$I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx \quad (x > 1)$$

2. 解き方の手順

まず、積分を扱いやすい形に変形します。

$$I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = \int \frac{1}{x} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} dx$$

ここで、$x = \cosh^2 t$ と置換します。すると、$dx = 2 \cosh t \sinh t dt$ となり、$x-1 = \cosh^2 t - 1 = \sinh^2 t$ なので、$\sqrt{x} = \cosh t$、$\sqrt{x-1} = \sinh t$ となります。したがって、

$$I = \int \frac{1}{\cosh^2 t} \frac{\cosh t}{\sinh t} (2 \cosh t \sinh t) dt = \int \frac{2 \cosh^2 t}{\cosh^2 t} dt = \int 2 dt = 2t + C$$

ここで、$t$ を $x$ に戻す必要があります。$x = \cosh^2 t$ より、$\cosh t = \sqrt{x}$、よって $t = \cosh^{-1} \sqrt{x}$ です。

したがって、

$$I = 2 \cosh^{-1} \sqrt{x} + C$$

ここで $\cosh^{-1} u = \ln(u + \sqrt{u^2 - 1})$ であることを利用すると、

$$I = 2 \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x-1}) + C$$

3. 最終的な答え

$$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x}{x-1}} dx = 2 \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x-1}) + C$$