二重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ を、領域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}$ 上で計算する問題です。ここで、極座標変換を利用します。

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ を、領域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}$ 上で計算する問題です。ここで、極座標変換を利用します。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用います。このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

領域 $D$ は $x^2 + y^2 \le 1$ で与えられているので、極座標では $0 \le r \le 1$ となります。$\theta$ は全範囲を動くので、$0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, dr \, d\theta$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4}$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$\int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{4} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{4} (2\pi) = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$